Si chiamano “numeri brasiliani” i numeri naturali n che si scrivono con tutte cifre uguali in una base inferiore a n – 1.
Per esempio, 447 = 32 è brasiliano.
Il limite superiore per la base è necessario, perché ogni numero n si scrive come 11 in base n – 1 e quindi tutti i numeri rientrerebbero nella definizione.
Il nome deriva da un quesito proposto nelle Olimpiada Iberoamericana de Matematica del 1994, che si svolsero a Fortaleza, in Brasile. Il quesito, proposto dal Messico, chiedeva di dimostrare che 1994 è brasiliano e 1993 no e identificava i numeri con questa proprietà come “brasiliani”, in omaggio al paese ospitante.
Un intero n è brasiliano se l’equazione 
ha soluzioni intere positive, con 0 < m < b < n – 1 e r > 0, quindi la cifra m va cercata tra i divisori propri di n; per ciascun divisore bisogna allora cercare le soluzione dell’equazione 
, ovvero 
, pertanto la base b va cercata tra i divisori di 
maggiori di m. Per ogni possibile base bisogna poi verificare se esiste una soluzione, sommando le potenze di b.
Grazie a queste osservazioni la soluzione del quesito olimpico richiede solo pochi tentativi.
Nel caso di 1994, che ha come divisori propri 1, 2 e 997, abbiamo i seguenti casi:
-
per m = 1 la base deve essere un divisore di 1993; gli unici candidati sono 1 e 1993, che non sono accettabili;
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per m = 2 la base deve essere un divisore di 996, quindi bisogna provare 1, 2, 3, 4, 6, 12, 83, 166, 249, 332, 498 e 996;
-
per m = 997 la base deve essere un divisore proprio di 1, quindi non ci sono candidati validi.
Provando le varie basi si arriva rapidamente all’unica soluzione m = 2, b = 996, r = 1, ossia 1994 = 22996.
Nel caso di 1993, che è primo, l’unico divisore proprio è 1, la base deve essere un divisore di 1992, quindi bisogna esaminare: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 83, 166, 249, 332, 498, 664, 996 e 1992, ma non si trovano soluzioni.
La domanda interessante è quali numeri siano brasiliani. Se un intero n ha un divisore 
è brasiliano: si può, infatti, prendere 
, che è maggiore di m, e rappresentare n come due cifre m in base b, perché 
.
Di conseguenza ogni numero composto maggiore di 7 che non sia il quadrato di un primo è brasiliano, perché se è pari, si può prendere m = 2, mentre se è dispari si può prendere per m il suo minimo fattore primo.
Resta quindi da stabilire in quali casi un intero che sia primo o il quadrato di un primo sia brasiliano. Per questi numeri l’unico valore accettabile di m è 1 e la base può solo essere un divisore proprio di n – 1 maggiore di 1.
Nel caso dei primi maggiori di 5 il numero di cifre deve essere un numero primo dispari, ma non si conosce alcun criterio generale, tranne esaminare uno alla volta i singoli numeri, come mostrato sopra. Si conoscono molti numeri primi brasiliani, non è stato dimostrato che siano infiniti, ma è molto probabile; in particolare se la congettura di Bunyakovsky è vera, sono infiniti. Però i numeri brasiliani primi non possono essere una frazione finita dei primi, perché Bernard Schott dimostrò nel 2010 che la somma dei loro reciproci è finita e compresa tra 0.3 e 1.
Sono sicuramente infiniti i numeri primi non brasiliani.
Sono brasiliani i primi di Mersenne maggiori di 3, perché rappresentabili in base 2 con una sequenza di 1. Non sono invece brasiliani i primi di Fermat (Bernard Schott, 2010)
I numeri numeri brasiliani primi, detti anche “primi brasiliani” minori di 10000 sono: 7, 13, 31, 43, 73, 127, 157, 211, 241, 307, 421, 463, 601, 757, 1093, 1123, 1483, 1723, 2551, 2801, 2971, 3307, 3541, 3907, 4423, 4831, 5113, 5701, 6007, 6163, 6481, 8011, 8191, 9901.
Qui trovate i numeri brasiliani primi minori di 109 (T.D. Noe, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).
T. Nagell dimostrò nel 1921 che l’equazione 
ha solo due soluzioni intere: n = 20, b = 7, r = 3 e n = 11, b = 3, r = 4. Solo nell’ultimo caso n è primo, quindi l’unico quadrato di primi che sia brasiliano è 121.
Pertanto la somma dei reciproci dei quadrati non brasiliani è 
.
Per quanto riguarda i numeri brasiliani:
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il minimo è 7 = 1112, che è anche il minimo primo;
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il minimo composto è 8 = 223;
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il minimo con due fattori distinti è 10 = 224;
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il minimo (e unico) quadrato di un primo è 112 = 121 = 111113;
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il minimo della forma p(p + 1) con p primo è 3 • 4 = 12 = 225.
L’unico numero composto non brasiliano è 6.
I numeri non brasiliani minori di 100 sono: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 17, 19, 23, 25, 29, 37, 41, 47, 49, 53, 59, 61, 67, 71, 79, 83, 89, 97.
Qui trovate i primi 1000 numeri non brasiliani (T.D. Noe, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).
Oblàth dimostrò nel 1956 che nessun numero formato da cifre tutte uguali in base 10 è una potenza, a parte i casi banali di potenze di una sola cifra, 1, 4, 8 e 9 (che comunque non sono brasiliani).