π

Naturalmente π è legato al cerchio e alle sue generalizzazioni in dimensioni superiori, ossia sfera e ipersfere.

Il volume dell’ipersfera di raggio r a n dimensioni è per n pari e per n dispari. Queste ultime due formule possono anche essere riunite in una sola: .

La superficie è per n pari e per n dispari. Anche queste formule possono essere riunite in una sola: .

Nel caso dell’ipercilindro di raggio r e altezza h le formule sono:  per il volume, corrispondente al prodotto del volume di un’ipersfera a n – 1 dimensioni per h, e  per la superficie laterale, corrispondente al prodotto della superficie di un’ipersfera a n – 1 dimensioni per h.

Nel caso dell’ipercono di raggio r e altezza h le formule sono:  per il volume, corrispondente a  del volume dell’ipercilindro con r e h uguali, e  per la superficie laterale.

 

Nella geometria π compare non solo in connessione con figure che hanno un legame ovvio col cerchio, come cono, cilindro e sfera, ma anche con innumerevoli altre. Le tabelle seguenti riportano alcuni casi.

Nome	Definizione	Figura
Ellisse	Luogo dei punti con somma delle distanze da due punti (fuochi) costante.
Cicloide	Curva descritta da un punto su una circonferenza che rotola lungo una retta.
Versiera o strega di Agnesi	Curva ottenuta intersecando le rette passanti per l’origine con la circonferenza di raggio r e centro (0, r) e con una retta di equazione y = 2r. I punti hanno la coordinata x dell’intersezione con la retta e la coordinata y dell’intersezione con la circonferenza. Formula .
Cissoide di Diocle	Formula
Gaussiana	Formula .
Ipocicloide	Curva descritta da un punto su una circonferenza di raggio r che rotola all’interno di una circonferenza di raggio R.	Caso R = 4r.
Cardioide	Curva descritta da un punto su una circonferenza di raggio r che rotola all’esterno di una circonferenza di raggio r (v. numero costruibili).
Nefroide	Curva descritta da un punto su una circonferenza di raggio r che rotola all’esterno di una circonferenza di raggio 2r.
Rodonea o rosa di Grandi	t = sin(kθ)
Salinon (o saliera)	Curva delimitata da quattro archi circolari: una inferiore di raggio R, una superiore di raggio r e due di raggio .

 

Nome	Parametri	Lunghezza	Area
Ellisse	a: semiasse maggiore; b: semiasse minore.		πab
Cicloide	r: raggio della circonferenza	8r	3πr2
Versiera o strega di Agnesi	r: raggio della circonferenza	∞	4πr2
Cissoide di Diocle	r: raggio della circonferenza	∞	3πr2
Gaussiana	σ: deviazione standard	∞
Ipocicloide	R: raggio della circonferenza esterna; r: raggio della circonferenza interna	, se R = nr.	, se R = nr.
Cardioide	r: raggio della circonferenza.	8r
Nefroide	r: raggio della circonferenza.	24r	12πr2
Rodonea o rosa di Grandi	r: raggio della circonferenza.		, per k pari e , per k dispari
Salinon (o saliera)	R: raggio della circonferenza inferiore; r: raggio della circonferenza superiore	2πR

 

Un’occorrenza assolutamente inattesa fu scoperta da David Boll nel 1991, esaminando l’insieme di Mandelbrot vicino al punto di coordinate ; il numero di iterazioni necessarie perché il modulo della successione che inizia da  diventi maggiore di 2 tende, per ε tendente a 0, a .

Vedi anche

Numeri affamati.

Bibliografia

• Avellino, Mario Rosario;  Pi greco una storia infinita, Castellammare di Stabia, Micro media s.r.l., 2012 -

  Un testo divulgativo di facile lettura, per studenti delle medie superiori e appassionati in genere.

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• Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
• Beckmann, Petr;  A History of π, New York, St. Martin’s Press, 1971 -

  Una semplice e divertente storia di π.

• Bellos, Axel;  Il meraviglioso mondo dei numeri, Torino, Einaudi, 2011 -

  Trad. di Alex’s Adventures in Numberland. Dispatches from the Wonderful World of Mathematics, 2010.

• Berggren, Lenhart;  Borwein, Jonathan Michael;  Borwein, Peter Benjamin;  Pi: a Source Book, Springer-Verlag, 1997 -

  Tutto su π, ma non solo. Contiene anche un articolo di J. Todd sulla costante della lemniscata e un articolo di David A. Cox sulla media aritmetico-geometrica di Gauss.

• Blattner, David;  The Joy of Pi, New York, Walker & Co, 1997 -

  Ristampato da Penguin Books, 1998.

• Boese, Alex;  The Museum of Hoaxes, Penguin Group, 2002 -

  Una divertente raccolta di truffe, scherzi, invenzioni assurde che hanno mietuto vittime anche illustri.

• Borwein, Jonathan Michael;  Borwein, Peter Benjamin;  Pi and AGM, New York, John Wiley & Sons, 1987.
• Cresci, Luciano;  Le curve matematiche, Milano, Hoepli, 2005.
• Derbyshire, John;  Prime Obsession, Washington D.C., Joseph Henry Press, 2003.
• Dunlap, Richard A.;  The Golden ratio and Fibonacci Numbers, Singapore, World Scientific Publishing Co., 1997.
• Dörrie, Heinrich;  100 Great Problems of Elementary Mathematics, New York, Dover, 1965 -

  Una traduzione inglese della quinta edizione di Triumph der Mathematik: Hundert berühmte Probleme aus zwei Jahrtausenden mathematischer Kultur, Würzburg, Physica Verlag, 1958. La prima edizione, ormai introvabile, risale al 1932.
  

• Eves, Howard W.;  Mathematical Circles, Mathematical Association of America, vol. III, 2003 -

  Una stupenda raccolta di aneddoti a sfondo matematico, pubblicati inizialmente con i titoli Mathematical Circles Adieu (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1977) e Return to Mathematical Circles (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1988).

• Gardner, Martin;  "Giochi matematici" in Le Scienze, Milano, n. 137, gennaio 1980, pag. 102 – 105 -

   

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  Traduzione di Martin Gardner’s New Mathematical Diversions from Scientific American, New York, Simon and Schuster, 1966.

• Greco, Pietro;  Storia di π, Roma, Carocci editore, 2016.
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• Joseph, George Gheverghese;  C’era una volta un numero, Milano, Il Saggiatore, 2000 -

  Trad. di The Crest of the Peacock. Non-European Roots of Mathematics, Princeton University Press, 1991

• Kanigel, Robert;  The Man who Knew Infinity, Charles Scribner’s Sons, 1991 -

  Un’ottima biografia di Ramanujan.

• Katz, Victor J.;  A History of Mathematics, New York, Pearson, III ediz., 2018 -

  Una miniera di informazioni storiche.

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• Maor, Eli;  e, The Story of a Number, Princeton, Princeton University Press, 1994.
• Nahin, Paul J.;  Duelling Idiots and Other Probability Puzzles, Princeton, Princeton University Press, 2000.
• Odifreddi, Piergiorgio;  "Colpi di fortuna (al cerchio)" in Le Scienze, Milano, n. 475, marzo 2008, pag. 23.
• Odifreddi, Piergiorgio;  "Meandri matematiciali" in Le Scienze, Milano, n. 436, dicembre 2004, pag. 109.
• Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.
• Pickover, Clifford A.;  The Wonders of Numbers, New York, Oxford University Press, 2001.
• Ribenboim, Paulo;  Catalan’s Conjecture, Academic Press, 1994.
• Stewart, Ian;  Professor Stewart’s Cabinet of Mathematical Curiosities, Basic Books, 2009.
• Stillwell, John;  Yearning for the Impossible, A.K. Peters, 2006.
• Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

  Una miniera di informazioni sui numeri primi.

• Wells, David;  The Penguin Book of Curious and Interesting Mathematics, Londra, Penguin Books, 1997.
• Yaglom, A.M.;  Yaglom, I.M.;  Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, New York, Dover, 1987 -

  Traduzione dal russo di Neelementarnye Zadachi v Elementarnom Izlozhenii (Problemi non elementari e soluzioni elementari), Mosca, Ist. Governativo di stampa per la letteratura tecnico-teorica, 1954. Una splendida raccolta di problemi, generalmente non facili, comparsa per la prima volta in occidente nel 1964 (S. Francisco, Holden-Day Inc., 1964).
  

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