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Ipercubo di DeVicci (costante dello)

Geometria 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Estensione del problema ai poligoni regolari
  3. 3. Estensione del problema agli altri solidi platonici

Il cubo non è l’unico solido che possa passare in un foro praticato in un solido simile ma più piccolo; tra i solidi platonici, anche tetraedro e ottaedro condividono questa proprietà. Non ritengo possibile una soluzione per dodecaedro e icosaedro, ma non conosco una dimostrazione rigorosa dell’impossibilità.

 

Per quanto riguarda il tetraedro regolare credo che la soluzione migliore sia la seguente.

Bisogna praticare un foro perpendicolare a una faccia che abbia come sezione un triangolo isoscele con vertice coincidente con un vertice della faccia e base sul lato opposto. Visto dalla faccia il foro si presenta come nella figura seguente.

 

Foro nel tetraedro regolare

 

Se il tetraedro forato ha spigolo unitario, la base AB del foro è lunga Lunghezza di AB e nel foro può passare un tetraedro con spigolo Spigolo del tetraedro che passa nel foro e altezza Altezza del tetraedro che passa nel foro, uguale all’altezza di una faccia del tetraedro forato. Naturalmente del tetraedro forato resta ben poco: due tetraedri irregolari lunghi e sottili, col vertice C in comune e uniti da una lamina rettangolare, con base AB e perpendicolare al piano del disegno, di spessore infinitesimo.

 

Far passare il tetraedro maggiore nel foro è leggermente complicato, perché non basta una semplice traslazione, ma serve anche una rotazione. Bisogna appoggiare una sua faccia ad AB, in mdo che sia perpendicolare al foro, con un vertice verso lo stesso e farlo entrare fino a che il vertice opposto alla faccia considerata arriva in C e passa nel foro. A questo punto ci si ritrova con due vertici oltre il foro e i restanti ancora dalla parte originale. Bisogna quindi ruotare di 90° la faccia appoggiata ad AB su un asse a essa perpendicolare (quindi perpendicolare ad AB e che giace nel piano del foro), sino a che una delle sue altezze coincida con AB. A questo punto il resto del solido potrà passare senza difficoltà.

 

Per quanto riguarda l’ottaedro regolare credo che la soluzione migliore sia la seguente.

Considerando il solido come composto da due piramidi unite per la base (quadrata), bisogna praticare un foro nella base comune delle piramidi.

Il foro non deve essere perpendicolare alla base, ma leggermente inclinato; in alternativa, si può assottigliare l’ottaedro, riducendolo a una sezione quadrata di spessore infinitesimo.

La sezione del foro si ottiene partendo dal massimo esagono regolare che possa essere contenuto nella base quadrata e da due triangoli equilateri, ciascuno uguale al massimo triangolo equilatero che possa essere contenuto nella stessa base, di lato uguale al doppio di quello dell’esagono, mostrati nella figura seguente.

 

Esagono regolare e triangoli equilateri nella base quadrata

 

Se il quadrato ha lato unitario, il lato AB dell’esagono è lungo Lunghezza del lato AB e Lunghezza di HA e HB, mentre Lunghezza di CD e Lunghezza di KC e KD.

Il foro ha la sezione che si ottiene sovrapponendo le tre figure e prendendo l’inviluppo convesso del poligono risultante, come mostra la figura seguente.

 

Foro in un ottaedro regolare

 

Il foro è un ottagono irregolare, che ha per vertici due vertici della base quadrata e i punti O, P, Q, R, S e T, determinati come descritto; dell’ottaedro resta ben poco: due piccoli solidi uniti in due punti.

 

Per far passare nel foro l’ottaedro maggiore, che ha spigolo uguale a CD, bisogna appoggiare una delle facce sulla sezione quadrata, con un vertice in A, poi farlo passare con una traslazione, non perpendicolare alla base quadrata, ma inclinata verso B; a metà dell’operazione la sua sezione sarà quella dell’esagono della prima parte della figura precedente e al termine la faccia opposta a quella entrata per prima avrà un vertice in B.

 

Cubo e tetraedro regolare hanno lo stesso rapporto tra lo spigolo del solido passante e quello del solido forato, mentre nel caso dell’ottaedro il rapporto è leggermente inferiore.

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