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Hardy e Littlewood (costanti di)

Teoria dei numeri 

Godfrey Harold Hardy (Cranleigh, Inghilterra, 1877 – Cambridge, 1/12/1947) e John Edensor Littlewood (Rochester, Inghilterra, 1885 – Cambridge, 7/9/1977) avanzarono nel 1923 una congettura sui numeri primi, che afferma che se non esistono semplici condizioni di divisibilità che impediscano ai numeri p, p + 2m1, p + 2m2, ... p + 2mk di essere tutti primi (condizione di Bunyakovsky, v. congettura di Bunyakovsky), la frazione dei valori di p non superiori a n tali che p, p + 2m1, p + 2m2, ... p + 2mk, siano primi tende a Frazione asintotica dei valori di p non superiori a n che rendono primi tutti i numeri, dove Valore di C(m(1), m(2), ... m(n)), dove il prodotto va calcolato sui primi dispari e w(q; m1, m2, ... mk) è il numero di differenti residui di 0, m1, m2, ... mk modulo q.

 

I valori di C(m1, m2, … mn) per alcuni casi particolari di m1, m2, … mn sono talvolta chiamati “costanti di Hardy e Littlewood”.

 

In particolare secondo la congettura:

  • il numero di coppie di primi p, p + 2, ovvero di primi gemelli, minori di n tende a Limite asintotico per il numero di primi gemelli minori di n;

  • il numero di coppie di primi p, p + 4, ovvero di primi cugini, minori di n tende a Limite asintotico per il numero di primi cugini minori di n;

  • il numero di coppie di primi p, p + 6, ovvero di primi sexy, minori di n tende a Limite asintotico per il numero di primi sexy minori di n;

  • il numero di triple di primi p, p + 2, p + 6 minori di n tende a Limite asintotico per il numero di triple di primi p, p + 2, p + 6 minori di n;

  • il numero di triple di primi p, p + 4, p + 6 minori di n tende a Limite asintotico per il numero di triple di primi p, p + 4, p + 6 minori di n;

  • il numero di quadruple di primi p, p + 2, p + 6, p + 8 minori di n tende a Limite asintotico per il numero di quadruple di primi p, p + 2, p + 6, p + 8 minori di n;

  • il numero di quadruple di primi p, p + 4, p + 6, p + 10 minori di n tende a Limite asintotico per il numero di quadruple di primi p, p + 4, p + 6, p + 10 minori di n.

 

Le corrispondenti costanti di Hardy e Littlewood sono quindi:

Qui trovate le prime 1000 cifre decimali di C(1, 3) = C(2, 3) (G. Nicklasch e Pieter Moree, 1999).

Qui trovate le prime 1000 cifre decimali di C(1, 3, 4) (G. Nicklasch e Pieter Moree, 1999).

 

Alle voci espansione di Lehmer, frazioni continue e numeri primi trovate ottime approssimazioni di alcune costanti e alcuni prodotti infiniti mostrati sopra.

 

Per quanto riguarda gli integrali, asintoticamente Integrale da 2 a n di dt / log(t)^k tende a n / log(n)^k; il valore esatto può essere calcolato con le seguenti formule:

  • Integrale da 2 a n di dt / log(t)^2,

  • Integrale da 2 a n di dt / log(t)^3,

  • Integrale da 2 a n di dt / log(t)^9.

 

Le tabelle seguenti mostrano l’accordo tra le previsioni della congettura e il numero di primi esistenti non superiori a n per alcuni gruppi di primi.

Primi gemelli

Numero di coppie

Coppie previste

n = 105

1224

1249

n = 106

8169

8248

n = 107

58980

58754

n = 108

440312

440368

 

Primi cugini

Numero di coppie

Coppie previste

n = 105

1216

1249

n = 106

8144

8248

n = 107

58622

58754

n = 108

440258

440368

 

Primi sexy

Numero di coppie

Coppie previste

n = 105

2447

2497

n = 106

16386

16496

n = 107

117207

117508

n = 108

879908

880736

 

Triple p, p + 2, p + 6

Numero di triple

triple previste

n = 105

259

279

n = 106

1393

1446

n = 107

8543

8591

n = 108

55600

55491

 

Triple p, p + 4, p + 6

Numero di triple

triple previste

n = 105

248

279

n = 106

1444

1446

n = 107

8677

8591

n = 108

55556

55491

 

Quadruple p, p + 2, p + 6, p + 8

Numero di quadruple

Quadruple previste

n = 105

38

53

n = 106

166

184

n = 107

899

863

n = 108

4768

4735

 

Quadruple p, p + 4, p + 6, p + 10

Numero di quadruple

Quadruple previste

n = 105

80

106

n = 106

317

367

n = 107

1653

1726

n = 108

9267

9469

 

Nel 2013 Alexei Kourbatov avanzò la congettura che la massima differenza tra due n-uple di primi come quelle sopra descritte minori di x tenda a log(x)^(n + 1() / C(n), dove Cn è la costante di Hardy e Littlewood relativa alla n-upla. La congettura è in buon accordo con i dati disponibili.

Kourbatov propose anche alcune congetture che generalizzano la congettura di Legendre (II), nella forma:

  • per m > rn vi è sempre una n-upla di primi tra m2 e (m + 1)2, dove rn dipende dalla n-upla;

  • per m > sn vi è sempre una n-upla di primi tra mn + 1 e (m + 1)n + 1, dove sn dipende dalla n-upla.

 

Se nella definizione delle costanti i prodotti sono calcolati su tutti gli interi, invece che sui soli numeri primi, abbiamo Prodotto sugli interi m a partire da n + 1 di m^(n – 1) * (m – n) / (m – 1)^n uguale a (n – 1)! / n^(n – 1) per n > 1 e in particolare Prodotto sugli interi m a partire da 3 di m * (m – 2) / (m – 1)^2 uguale a 1 / 2, Prodotto sugli interi m a partire da 4 di m^2 * (m – 3) / (m – 1)^3 uguale a 2 / 9Prodotto sugli interi m a partire da 5 di m^3 * (m – 4) / (m – 1)^4 uguale a 3 / 32 e Prodotto sugli interi m a partire da 6 di m^4 * (m – 5) / (m – 1)^5 uguale a 24 / 625.

 

Se i prodotti sono calcolati solo sugli interi con un numero fissato di fattori primi, non necessariamente distinti, abbiamo altre costanti; le tabelle seguenti mostrano i valori approssimati di Prodotto sugli interi m maggiori di n e con k fattori primi di m^(n – 1) * (m – n) / (m – 1)^n, per k da 1 a 5 e n da 3 a 6 (Richard J. Mathar, 2011). In particolare per k = 1 abbiamo i prodotti che compaiono nelle costanti di Hardy e Littlewood.

n

Prodotto sugli interi m maggiori di n e con un fattore primo di m^(n – 1) * (m – n) / (m – 1)^n

3

0.635166354604271207206696591272522417342065687332372450899

4

0.307494878758327093123354486071076853022178519950663928298

5

0.409874885088236474478781212337955277896358013254945469826

6

0.186614297358358396656924847944188337840073944945589304871

n

Prodotto sugli interi m maggiori di n e con 2 fattori primi di m^(n – 1) * (m – n) / (m – 1)^n

3

0.424234558470737235218539671836177441479432573726566654172

4

0.461691758364773730232305524418356233105041873484187592372

5

0.199805231972458892888828284513805175888486651003235386176

6

0.298042020487754531592316128677284826210605850852999108669

n

Prodotto sugli interi m maggiori di n e con 3 fattori primi di m^(n – 1) * (m – n) / (m – 1)^n

3

0.861978217115406397600389288178363010882226721530095958070

4

0.723165327592227885742644081506537901793428021559355399358

5

0.547976628430836989696044385054920027204371593584787789976

6

0.353138894039211423074594163633660113968205949561584457073

n

Prodotto sugli interi m maggiori di n e con 4 fattori primi di m^(n – 1) * (m – n) / (m – 1)^n

3

0.967010333852598290029706098677367652117366812663687575395

4

0.933085922756286271428677500179124619333526568552797663388

5

0.887429384542023666239166084035101114754091610659986923636

6

0.830410751660277094955031322533872844216167956532800549112

n

Prodotto sugli interi m maggiori di n e con 5 fattori primi di m^(n – 1) * (m – n) / (m – 1)^n

3

0.991986542483777613682589437104065646426247353044705005169

4

0.983814785274894677909254622541376985294671241029387304408

5

0.972787328073924092604485187403768369490797977225729870114

6

0.958867249262078290883709484646892100264447229912351544026

 

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