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Lehmer (costante di) (II)

Algebra 

Dato un polinomio P(z) a coefficienti complessi, si chiama “misura di Mahler” di P il valore Formula per la definizione della misura di Mahler. Il termine viene dal nome del matematico tedesco Kurt Mahler (Krefeld, Germania, 26/7/1903 – Canberra, Australia, 25/2/1988).

Se si scompone un polinomio P di grado n come prodotto tramite le sue radici ak nella forma Espressione di un polinomio come prodotto di polinomi di primo grado, allora Formula per il calcolo della misura di Mahler.

 

Alcune proprietà della misura di Mahler:

  • la misura di Mahler è moltiplicativa: dati due polinomi P e Q, M(PQ) = M(P)M(Q);

  • se un polinomio P è irriducibile, ha il coefficiente del termine di grado massimo uguale a 1 e la sua misura di Mahler è 1, allora è il polinomio P(z) = z oppure è un polinomio ciclotomico (teorema di Kronecker);

  • la misura di Mahler di un polinomio a coefficienti interi col coefficiente del termine di grado massimo uguale a 1 è un numero di Perron.

 

Derrick Henry Lehmer (Berkeley, California, 23/2/1905 – Berkeley, California, 22/5/1991) avanzò la congettura che esista una costante reale μ maggiore di 1, tale che dato un polinomio P(x) a coefficienti interi, valga una delle due condizioni:

  • P(x) è il prodotto di monomi x e polinomi ciclotomici, nel qual caso la sua misura di Mahler è 1;

  • M(P) > μ,

Il valore di μ è detto “costante di Lehmer” o “costante di Salem”.

 

Il polinomio a coefficienti interi, che non sia prodotto di monomi x e polinomi ciclotomici, con la minima misura di Mahler nota (maggiore di 1) è P(x) = x10 + x9x7x6x5x4x3 + x + 1, le cui radici sono circa: 1.1762808183, 0.8501371309, 0.4568658507 ± 0.8895356061i, –0.2923319977 ± 0.9563168947i, –0.7344380050 ± 0.6786757819i, –0.9433048226 ± 0.3319277206i. Le radici complesse hanno valore assoluto 1, una radice reale è minore di 1, quindi la misura di Mahler del polinomio è uguale alla massima radice reale, ossia 1.1762808183, che è il numero di Salem S1.

Gli esperti ritengono che questo sia il valore della costante μ.

 

E. Dobrowolski nel 1979 dimostrò che esiste una costante C, dipendente dal grado n del polinomio, tale che M(P) = 1 o Limite inferiore per il valore della misura di Mahler, che Limite inferiore per il valore di C e che asintoticamente C tende a 1; P.M. Voutier dimostrò nel 1996 che Limite inferiore per il valore di C per n > 1.

 

Nel 2007 P. Borwein, E. Dobrowlski e Mossinghoff dimostrarono che per i polinomi con coefficienti dispari μ ≥ 5^(1 / 4).

 

Finalmente nel 2017 Jean-Louis Verger-Gaugry dimostrò che μ ≥ 1 / θ, dove θ è la radice dell’equazione x259 + x – 1 = 0 nell’intervallo (0 .. 1) e vale circa 0.9841299079.

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