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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Formule
  3. 3. Formule che legano ζ ad altre funzioni
  4. 4. Formule per valori specifici
  5. 5. Valori

Alcune formule per il calcolo della funzione ζ per argomenti interi:

ζ(n) = Lin(1);

Formula per il calcolo della funzione ζ, per k intero non negativo, dove Numero di Stirling di prima specie è un numero di Stirling di prima specie;

Formula per il calcolo della funzione ζ, dove Bn(x1, x2, … xn) è un polinomio di Bell completo e Hn, k è un numero armonico generalizzato (Donald F. Connon, 2010);

se n ≡ 1 mod 4 e n > 1, Formula per il calcolo della funzione ζ (Ramanujan);

se n ≡ 3 mod 4, Formula per il calcolo della funzione ζ (Ramanujan);

Formula per il calcolo della funzione ζ, per n intero non negativo;

Formula per il calcolo della funzione ζ;

Formula per il calcolo della funzione ζ;

Formula per il calcolo della funzione ζ, per n intero non negativo;

Formula per il calcolo della funzione ζ, per n intero non negativo (Eulero, 1750) e in particolare: Formula per il calcolo di ζ(2), Formula per il calcolo di ζ(4), Formula per il calcolo di ζ(6)Formula per il calcolo di ζ(8) e Formula per il calcolo di ζ(10).

Da questa relazione si ricavano curiose approssimazioni per π, per n pari: Formula per il calcolo approssimato di π e Formula per il calcolo approssimato di π, dove il prodotto va calcolato su tutti i primi.

 

Una formula particolarmente efficiente per il calcolo della funzione ζ per argomenti interi è Formula per il calcolo approssimato di ζ(n), per n > 1, dove rs(n, m) non è maggiore in valore assoluto del primo termine non nullo ignorato nella seconda serie, cioè Limite superiore per il valore assoluto di rs(n, m), per s pari. Un’attenta scelta di m e s permette il calcolo efficiente della funzione con un gran numero di cifre

 

Una serie che converge per qualsiasi valore complesso di z, tranne z = 1, e che fornisce una continuazione analitica della funzione su tutto il piano complesso è Formula per il calcolo della funzione ζ, per z diverso da 1 + 2 * i * π * n / log(2) per qualsiasi n intero, proposta da Konrad Knopp e dimostrata da Helmut Hasse nel 1930. Nello stesso anno Hasse dimostrò anche la serie a convergenza più lenta Formula per il calcolo della funzione ζ.

 

Nel 2016 Iaroslav V. Blagouchine dimostrò che quest’ultima serie è equivalente alla serie Formula per il calcolo della funzione ζ, pubblicata nel 1926 dal matematico francese Joseph Ser. Ser pubblicò anche la serie Formula per il calcolo della funzione ζ, dove bn è un numero di Bernoulli di seconda specie.

 

Tra le formule lasciateci, senza dimostrazione, ma invariabilmente corrette, dal grande matematico indiano Ramanujan ve ne sono alcune che coinvolgono la funzione ζ e i numeri di Bernoulli. Una delle più strabilianti è la seguente, che lega i numeri di Bernoulli, la funzione ζ e π: per a e b maggiori di zero, ab = π2 e k intero maggiore di zero: Formula che lega i numeri di Bernoulli, la funzione ζ e π.

La correttezza della formula fu dimostrata da Malurker nel 1925, mentre un interessante caso particolare, con a = b = π, era già stato dimostrato da Lerch nel 1901: Formula per il calcolo della funzione ζ, per k dispari.

Una formula analoga per k pari è: Formula per il calcolo della funzione ζ.

Queste ultime due serie convergono rapidamente e possono essere utilizzate per il calcolo della funzione.

Per argomenti negativi abbiamo la formula analoga, sempre di Ramanujan, per a e b maggiori di zero, ab = π2 e k intero maggiore di 1: Formula per il calcolo della funzione ζ, dimostrata nel 1915 da Godfrey Harold Hardy.

 

Alcune formule che coinvolgono la funzione ζ:

|ζ(x)3ζ(x + it)4ζ(x + 2it)| ≥ 1 per x > 1, con x e t reali;

Formula che coinvolge la funzione ζ, per z non intero (Riemann, 1859);

Formula che coinvolge la funzione ζ, per z non intero;

Formula che coinvolge la funzione ζ, per k intero maggiore di 2;

Formula che coinvolge la funzione ζ, per k intero maggiore di 0, e in particolare Formula che coinvolge la funzione ζ e Formula che coinvolge la funzione ζ e Formula che coinvolge la funzione ζ;

Formula che coinvolge la funzione ζ (Mark W. Coffey, 2005) e in particolare Formula che coinvolge la funzione ζ e Formula che coinvolge la funzione ζ;

Formula che coinvolge la funzione ζ (Mark W. Coffey, 2005) e in particolare Formula che coinvolge la funzione ζ;

Formula che coinvolge la funzione ζ;

Formula che coinvolge la funzione ζ, per z diverso da un intero e |z| < 1 per la seconda eguaglianza;

Formula che coinvolge la funzione ζ, dove γn è una costante di Stieltjes e γ0 = γ;

Formula che coinvolge la funzione ζ, per Re(z) > 1 (M. Fiorentini, 2019);

Formula che coinvolge la funzione ζ, per n intero maggiore di 1 (Calogero Salvatore Siracusa, 2015) e in particolare Formula per il calcolo di ζ(2) e Formula per il calcolo di ζ(3);

Formula che coinvolge la funzione ζ, dove Hk, n è un numero armonico generalizzato, per n intero maggiore di 1 (Calogero Salvatore Siracusa, 2015);

Formula che coinvolge la funzione ζ;

Formula che coinvolge la funzione ζ (V. Brun, 1939);

Formula che coinvolge la funzione ζ, dove Nn è un numero di Nørlund (Iaroslav V. Blagouchine, 2016);

Formula per il calcolo della funzione ζ, per Re(s) > 1 (Bert Vitan, 2016);

Formula per il calcolo della funzione ζ;

Formula che coinvolge la funzione ζ, dove il prodotto va calcolato su tutti gli (infiniti) zeri non banali della funzione;

Formula che coinvolge la funzione ζ, dove il prodotto va calcolato su tutti gli (infiniti) zeri non banali della funzione (prodotto di Hadamard);

Formula che coinvolge la funzione ζ;

Formula che coinvolge la funzione ζ, per Re(s) > 1 (Bert Vitan, 2016);

Formula che coinvolge la funzione ζ;

Formula che coinvolge la funzione ζ;

Formula che coinvolge la funzione ζ (Calogero Salvatore Siracusa, 2011);

Formula che coinvolge la funzione ζ (Calogero Salvatore Siracusa, 2011);

Formula che coinvolge la funzione ζ;

Formula che coinvolge la funzione ζ, per |x| < 1, e in particolare Formula che coinvolge la funzione ζ e Formula che coinvolge la funzione ζ;

Formula che coinvolge la funzione ζ, per z non reale e maggiore o uguale a 1;

Formula che coinvolge la funzione ζ, per |x| < 1, e in particolare Formula che coinvolge la funzione ζ e Formula che coinvolge la funzione ζ;

Formula che coinvolge la funzione ζ, per |x| ≤ 1, e in particolare Formula che coinvolge la funzione ζ, Formula che coinvolge la funzione ζ e Formula che coinvolge la funzione ζ;

Formula che coinvolge la funzione ζ, per |x| ≤ 1, e in particolare Formula che coinvolge la funzione ζFormula che coinvolge la funzione ζ;

Formula che coinvolge la funzione ζ, per –1 < x ≤ 1 e in particolare Formula che coinvolge la funzione ζ;

Formula che coinvolge la funzione ζ;

Formula che coinvolge la funzione ζ;

Formula che coinvolge la funzione ζ;

Formula che coinvolge la funzione ζ;

Formula che coinvolge la funzione ζ, per |x| < 1 e in particolare Formula che coinvolge la funzione ζ;

Formula che coinvolge la funzione ζ;

Formula che coinvolge la funzione ζ;

Formula che coinvolge la funzione ζ (Bert Vitan, 2016);

Formula che coinvolge la funzione ζ;

Formula che coinvolge la funzione ζ;

Formula che coinvolge la funzione ζ (Jonathan Sondow e Petros Hadjicostas, 2006);

Formula che coinvolge la funzione ζ (Jonathan Sondow e Petros Hadjicostas, 2006);

Formula che coinvolge la funzione ζ (Richard J. Mathar, 2011);

Formula che coinvolge la funzione ζ, per |z| < 1;

Formula che coinvolge la funzione ζ;

Formula che coinvolge la funzione ζ, per |x| < 1;

Formula che coinvolge la funzione ζ.

Formula che coinvolge la funzione ζ, dove Hn, m è un numero armonico generalizzato (Eulero, 1742, v. numeri armonici).

 

Se definiamo Z(n) come il minimo intero k tale che nTk e Z*(n) come il massimo intero k tale che nTk, le due funzioni soddisfano le seguenti relazioni:

Sono stati trovati curiosi legami tra queste funzioni, che coinvolgono numeri triangolari, e la funzione ζ:

  • Formula che coinvolge la funzione Z*(n) è convergente per s > 0 (Jozsef Sandor, 2004);

  • Formula che coinvolge la funzione Z(n), per s > 2 (Jangli Gao, 2006);

  • Formula che coinvolge la funzione Z*(n), per s > 2 (Jangli Gao, 2006);

  • Formula che coinvolge la funzione Z*(n), per s > 2 (Jangli Gao, 2006).

 

Alcuni limiti che coinvolgono la funzione ζ:

Limite che coinvolge la funzione ζ, per n intero maggiore di 1;

Limite che coinvolge la funzione ζ, per Re(s) > –1, dove Hn, s è un numero armonico generalizzato (Hardy);

Limite che coinvolge la funzione ζ;

Limite che coinvolge la funzione ζ;

Limite che coinvolge la funzione ζ (Daniele Ritelli e Calogero Salvatore Siracusa, 2014);

Limite che coinvolge la funzione ζ (Daniele Ritelli e Calogero Salvatore Siracusa, 2014);

Limite che coinvolge la funzione ζ (Daniele Ritelli e Calogero Salvatore Siracusa, 2014);

Limite che coinvolge la funzione ζ (Daniele Ritelli e Calogero Salvatore Siracusa, 2014);

Limite che coinvolge la funzione ζ (Daniele Ritelli e Calogero Salvatore Siracusa, 2014);

Limite che coinvolge la funzione ζ, per |x| < 1 e in particolare Limite che coinvolge la funzione ζ.

 

Eduard Charles Titchmarsh dimostrò nel 1986 che, supponendo vera l’ipotesi di RiemannLimiti inferiore e superiore per |ζ(1 + it)| / log(log(t)) e Limiti inferiore e superiore per 1 / (|ζ(1 + it)| * log(log(t))).

 

Alcuni integrali che coinvolgono la funzione ζ:

Integrale definito che coinvolge la funzione ζ, per Re(s) > –1 e s ≠ 1;

Integrale definito che coinvolge la funzione ζ, per s ≠ 1 (Johan Jensen, 1893);

Integrale definito che coinvolge la funzione ζ, per s ≠ 1, caso particolare della formula di Abel – Plana (Johan Jensen, 1893);

Integrale definito che coinvolge la funzione ζ, per s ≠ 1 (Johan Jensen, 1893);

Integrale definito che coinvolge la funzione ζ, per s ≠ 1;

Integrale definito che coinvolge la funzione ζ, per s ≠ 1;

Integrale definito che coinvolge la funzione ζ, per s ≠ 1;

Integrale definito che coinvolge la funzione ζ, per m e n interi non negativi;

Integrale definito che coinvolge la funzione ζ, per n intero maggiore di 1;

Integrale definito che coinvolge la funzione ζ, per n intero maggiore di 0;

Integrale definito che coinvolge la funzione ζ, per n intero maggiore di 0;

Integrale definito che coinvolge la funzione ζ, per n intero maggiore di 0;

Integrale definito che coinvolge la funzione ζ, per n intero maggiore di 0 (Djurdje Cvijović e J. Klinowski, 2002);

Integrale definito che coinvolge la funzione ζ, per z diverso da 1;

Integrale definito che coinvolge la funzione ζ e in particolare Integrale definito che coinvolge la funzione ζ e Integrale definito che coinvolge la funzione ζ;

Integrale definito che coinvolge la funzione ζ;

Integrale definito che coinvolge la funzione ζ, per n intero;

Integrale definito che coinvolge la funzione ζ, per n intero;

Integrale definito che coinvolge la funzione ζ, per Re(s) > –1 (Lazhar Fekid-Ahmed, 2014);

Integrale definito che coinvolge la funzione ζ;

Integrale definito che coinvolge la funzione ζ;

Integrale definito che coinvolge la funzione ζ;

Integrale definito che coinvolge la funzione ζ, per Re(z) > 1;

Integrale definito che coinvolge la funzione ζ, per x > 0 e x diverso da 1; se x è 1, l’integrale vale 1 – γ;

Integrale definito che coinvolge la funzione ζ, per x > 1;

Serie di integrali definiti che coinvolge la funzione ζ, per Re(z) ≥ 2 (M. Fiorentini, 2018);

Integrale definito che coinvolge la funzione ζ, per Re(s) > 1 (Hadjicostas, 2002);

Integrale definito che coinvolge la funzione ζ;

Integrale definito che coinvolge la funzione ζ (Jesús Guillera e Jonathan Sondow, 2006);

Integrale definito che coinvolge la funzione ζ (Jesús Guillera e Jonathan Sondow, 2006);

Integrale definito che coinvolge la funzione ζ (Jesús Guillera e Jonathan Sondow, 2006);

Integrale definito che coinvolge la funzione ζ (Jesús Guillera e Jonathan Sondow, 2006);

Integrale definito che coinvolge la funzione ζ;

Integrale definito che coinvolge la funzione ζ (Jesús Guillera e Jonathan Sondow, 2006).

 

Integrale definito che coinvolge la funzione ζ. Ramanujan dimostrò che se l’intervallo di integrazione viene allargato, valgono due formule per i primi valori di n: Integrale definito che coinvolge la funzione ζ e Integrale definito che coinvolge la funzione ζ; non si conoscono formule altrettanto semplici per valori superiori di n. Levin dimostrò nel 1950 che Integrale definito che coinvolge la funzione ζ, quindi forse formule simili alle prime non esistono per n > 2.

 

Integrale che coinvolge ζ(2) e Integrale definito che coinvolge ζ(3), formule dimostrate da Beukers nel 1979, sono casi particolari della formula di Hadjicostas: Integrale definito che coinvolge la funzione ζ, valida se Re(s) > –2, supposta da P. Hadjicostas nel 2004 e dimostrata poco dopo da R. Chapman. La formula ha un altro caso particolare interessante, come limite per s tendente a –1: Integrale definito che coinvolge la funzione ζ.

La formula analoga Integrale definito che coinvolge la funzione ζ (J. Sondow 2005) ha come casi particolari interessanti Integrale definito che coinvolge la funzione ζ e Integrale definito che coinvolge la funzione ζ, dove A è la costante di Glaisher – Kinkelin.

 

Integrale definito che coinvolge la funzione ζ.

Qui trovate le prime 102 cifre decimali dell’integrale (R.J. Mathar, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Integrale definito che coinvolge la funzione ζ.

Qui trovate le prime 100 cifre decimali dell’integrale (N.J.A. Sloane, Jean-François Alcover, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Alcune formule che coinvolgono le derivate di ζ:

Formula per la derivata della funzione ζ;

Formula per la derivata della funzione ζ;

Formula per la derivata della funzione ζ;

Formula per la derivata della funzione ζ;

Formula che coinvolge la derivata della funzione ζ;

Formula che coinvolge la derivata della funzione ζ;

Formula per ζ'(-1), dove A è la costante di Glaisher – Kinkelin;

Formula per ζ'(0);

Formula per ζ'(1/2);

Formula per ζ'(2), dove A è la costante di Glaisher – Kinkelin;

ζ’(2) = 2π2ζ’(–1) – ζ(2)(1 – γ – log(2π);

Formula per ζ"(0), dove A è la costante di Glaisher – Kinkelin e γ1 è la prima costante di Stieltjes;

Formula per ζ'''(0), dove γ1 e γ2 sono costanti di Stieltjes.

 

Non sappiamo se tutti gli zeri non banali della funzione siano tutti sulla retta Re(z) = 1 / 2, come suppone l’ipotesi di Riemann, tuttavia conosciamo il valore di alcune somme di potenze dei loro reciproci:

reciproci:

 

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Derbyshire, John;  Prime Obsession, Washington D.C., Joseph Henry Press, 2003.
  • Havil, Julian;  Gamma, Princeton, Princeton University Press, 2003 -

    Interessante fonte di informazioni sulla costante γ.

  • Odifreddi, Piergiorgio;  La matematica del Novecento: dagli insiemi alla complessità, Torino, Einaudi, 2000.
  • Sabbagh, Karl;  Dr. Riemann’s Zeros, Londra, Atlantic Books, 2002.
  • Stewart, Ian;  Professor Stewart’s Cabinet of Mathematical Curiosities, Basic Books, 2009.
  • Varga, Richard S.;  Scientific Computation on Mathematical Problems and Conjectures, Society for Industrial and Applied Mathematics, 1990.
  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

  • Zwillinger, Daniel;  CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, CRC Press, 30th edition, 1996.

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