Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Formule
  3. 3. Formule che legano ζ ad altre funzioni
  4. 4. Formule per valori specifici
  5. 5. Valori

Limiti inferiore e superiore per i valori della funzione ζ, quindi al crescere dell’argomento (reale) ζ(x) tende a Limite della funzione ζ.

 

Una disuguaglianza che pone limiti piuttosto stretti ai valori della funzione è la seguente: Limiti inferiore e superiore per i valori della funzione ζ, per n e r interi maggiori di zero e m intero maggiore di 1 , dove Bn è un numero di Bernoulli (Junesang Choi e Chao-Ping Chen, 2013).

 

Le figure mostrano due diverse parti del grafico della funzione ζ(x).

 

Grafico della funzione ζ per argomenti negativi

 

Grafico della funzione ζ per argomenti positivi

 

La funzione ζ(x) si annulla  quando x è un intero negativo pari e ha valori razionali per x intero negativo dispari. Tende a infinito (positivo e negativo) per x tendente a uno, ha oscillazioni di ampiezza crescente per x tendente a meno infinito e tende a 1 per x tendente a infinito.

 

La tabella seguente riporta i valori di ζ(n) per n da –20 a 20.

n

ζ(n)

–20

0

–19

Valore di ζ(-19) 

–18

0

–17

Valore di ζ(-17) 

–16

0

–15

Valore di ζ(-15) 

–14

0

–13

Valore di ζ(-13) 

–12

0

–11

Valore di ζ(-11) 

–10

0

–9

Valore di ζ(-9) 

–8

0

–7

Valore di ζ(-7) 

–6

0

–5

Valore di ζ(-5) 

–4

0

–3

Valore di ζ(-3) 

–2

0

–1

Valore di ζ(-1) 

0

Valore di ζ(0) 

2

1.6449340668

3

1.2020569032

4

1.0823232337

5

1.0369277551

6

1.0173430620

7

1.0083492774

8

1.0040773562

9

1.0020083928

10

1.0009945751

11

1.0004941886

12

1.0002460866

13

1.0001227133

14

1.0000612481

15

1.0000305882

16

1.0000152823

17

1.0000076372

18

1.0000038173

19

1.0000019082

20

1.0000009540

Qui trovate le prime 10000 cifre dopo la virgola di ζ(2).

Qui trovate le prime 10000 cifre dopo la virgola di ζ(4).

 

Alla voce costante di Apéry trovate ottime approssimazioni di ζ(3).

 

Alle voci espansione di Engel, espansione di Lehmer, frazioni continuefrazioni continue centrate si trovano ottime approssimazioni di alcuni valori della funzione.

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Derbyshire, John;  Prime Obsession, Washington D.C., Joseph Henry Press, 2003.
  • Havil, Julian;  Gamma, Princeton, Princeton University Press, 2003 -

    Interessante fonte di informazioni sulla costante γ.

  • Odifreddi, Piergiorgio;  La matematica del Novecento: dagli insiemi alla complessità, Torino, Einaudi, 2000.
  • Sabbagh, Karl;  Dr. Riemann’s Zeros, Londra, Atlantic Books, 2002.
  • Stewart, Ian;  Professor Stewart’s Cabinet of Mathematical Curiosities, Basic Books, 2009.
  • Varga, Richard S.;  Scientific Computation on Mathematical Problems and Conjectures, Society for Industrial and Applied Mathematics, 1990.
  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

  • Zwillinger, Daniel;  CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, CRC Press, 30th edition, 1996.

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