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Catalan (costante di)

Analisi  Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Serie
  3. 3. Integrali
  4. 4. Altre formule
  5. 5. Valore
  6. 6. Approssimazioni

La costante di Catalan è così chiamata in onore Eugène Charles Catalan (Bruges, 30/5/1814 – Liegi, 14/2/1894), che per primo la studiò approfonditamente, dimostrando tra l'altro che è uguale a varie serie e integrali.

 

Comunemente indicata con C, ma talvolta anche con G o K, venne definita da Catalan nel 1865 e successivamente studiata da M. Leclert, M. Bresse, J.W.L. Glaisher e altri.

Formula per la definizione della costante di Catalan.

 

E’ probabilmente irrazionale, forse trascendente, ma non è stato dimostrato.

 

Tra le occorrenze inattese della costante, val la pena di ricordare un problema di matematica combinatoria: il calcolo del numero di modi di ricoprire un quadrato n × n con domini (formati da due quadrati uniti per un lato). Tale numero è Formula per il numero di modi di ricoprire un quadrato n × n con domini (P.W. Kastelyn, 1961) e si può dimostrare che è un quadrato, se n è divisibile per 4, il doppio di un quadrato altrimenti.

Per n tendente a infinito, il numero di modi tende a Formula per il limite del numero di modi di ricoprire un quadrato n × n con domini, dove Valore della costante K in due dimensioni.

Se si considerano anche le coperture formate da qualsiasi combinazione di monomini (quadrati isolati) e domini, il limite è analogo, ma la costante K sale a circa 1.94021535.

 

Questo problema è stato studiato anche perché ha interessanti connessioni con la fisica dello stato solido e con la chimica, perché entra nella determinazione delle energie di legame di particolari solidi: la determinazione del numero di modi di tassellare un parallelepipedo con domini formati da due cubi identici è, infatti, considerato uno dei grandi problemi irrisolti della Chimica!

 

In tre dimensioni è stato dimostrato che il numero di modi di costruire un cubo n × n × n con domini tridimensionali (coppie di cubi identici con una faccia in comune) tende a Formula per il limite del numero di modi di costruire un cubo n × n × n con domini, ma in questo caso il valore di K è tuttora ignoto; i migliori limiti conosciuti sono: 0.44007584 ≤ K ≤ 0.457547 (P.H. Lundow, 2001).

Vedi anche

Funzione β.

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